等張力曲面と極小曲面

一般的な膜に対する仮想仕事の原理は次のように表現できます:

(1)
\begin{align} \delta w=\int_a{\boldsymbol{\sigma}:\delta\boldsymbol{u}\otimes\nabla da} \end{align}

また、次のようにも書きますが、同じことです:

(2)
\begin{align} \delta w=\int_a{\boldsymbol{\sigma}:\frac{\partial \delta\boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{x}}da}, \end{align}

ここで、

(3)
\begin{align} \delta \boldsymbol{u}\otimes \nabla=\frac{\partial \delta\boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{x}}\equiv \frac{\partial \delta\boldsymbol{u}}{\partial \theta^i}\otimes \boldsymbol{g}^i. \end{align}

はベクトルの勾配(後形)、と呼ばれる2階テンソルです。対称ではありませんので、前形と異なることに注意が必要です。
膜構造ではしばしば、標準的な応力場として一様で等方的な応力場を採用します。石鹸膜はその液体としての性質から、そのような応力場が実現していると考えられ、その形成する曲面は等張力曲面と呼ばれます。
さて、そのような応力場を考察する場合、解析的には応力テンソル$\boldsymbol{\sigma}$

(4)
\begin{align} \boldsymbol{\sigma}=\hat{\sigma}\boldsymbol{I}\equiv\hat{\sigma}\boldsymbol{g}_1\otimes\boldsymbol{g}^1+\boldsymbol{g}_2\otimes\boldsymbol{g}^2 \end{align}

に置き換えます。$\boldsymbol{I}$は単位テンソル、$\hat{\sigma}$は膜の断面に作用する単位長さ辺りの力の大きさで、単位は$N/m$に準じます。
このとき等張力曲面に対する仮想仕事の原理は次のように表現されます。

(5)
\begin{align} \delta w=\int_a{\boldsymbol{I}:\delta\boldsymbol{u}\otimes\nabla \mathrm{da}}. \end{align}

これは、次の簡潔な形式に書き換えることができます。

(6)
\begin{align} \delta w=\int_a{\delta\boldsymbol{u}\cdot\nabla \mathrm{da}}=\int_a{\mathrm{div}\delta\boldsymbol{u}\mathrm{da}}. \end{align}

なぜならば、

(7)
\begin{align} \delta\boldsymbol{u}\cdot\nabla\equiv\mathrm{div}\delta\boldsymbol{u}\equiv\frac{\partial\delta\boldsymbol{u}}{\partial\theta^i}\cdot\boldsymbol{g}^i, \end{align}

であり、また、テンソルの基本的な計算より

(8)
\begin{align} \boldsymbol{I}:\delta\boldsymbol{u}\otimes\nabla=\boldsymbol{g}_i\otimes\boldsymbol{g}^i:\frac{\partial\delta\boldsymbol{u}}{\partial\theta^\alpha}\otimes\boldsymbol{g}^\alpha=\boldsymbol{g}^i\otimes\boldsymbol{g}_i:\frac{\partial\delta\boldsymbol{u}}{\partial\theta^\alpha}\otimes\boldsymbol{g}^\alpha \end{align}

さらに

(9)
\begin{align} =\left(\boldsymbol{g}^i\cdot\frac{\partial\delta\boldsymbol{u}}{\partial\theta^\alpha}\right)\left(\boldsymbol{g}_i\cdot\boldsymbol{g}^\alpha\right)=\left(\boldsymbol{g}^i\cdot\frac{\partial\delta\boldsymbol{u}}{\partial\theta^i}\right)=\mathrm{div}\delta\boldsymbol{u} \end{align}

だからです。
ここで、$\mathrm{div}\delta \boldsymbol{u}$はベクトルの発散と呼ばれ、スカラー値です。
さて、曲面の面積の変分が

(10)
\begin{align} \delta a=\int_a{\mathrm{div}\delta\boldsymbol{u} \mathrm{da}} \end{align}

として与えられますので、よく知られた関係

(11)
\begin{align} \delta a=0\leftrightarrow\delta w=0, \end{align}

を得ます。これはつまり等張力曲面と極小曲面が本質的に同一であることを示しています。