応力テンソル

連続体からある微小直方体(直方体でなくてもよいです)を取り出し、その一つの面について面積を$da$とし、単位法線ベクトル(外向き)を$\boldsymbol{n}$、その面に働く力を$\boldsymbol{t}$としたとき、Cauchy応力テンソル

(1)
\begin{align} \boldsymbol{n}\cdot \boldsymbol{T}da=\boldsymbol{t} \end{align}

であるような$\boldsymbol{T}$と定義されます。
テンソルの成分は4つありますが、基本的には

(2)
\begin{align} \boldsymbol{T}=T^{\alpha}_{\cdot \beta}\boldsymbol{g}_\alpha\otimes\boldsymbol{g}^\beta \end{align}

のみを用います。
力を取り出す面を指定するための単位法線ベクトルを

(3)
\begin{align} \boldsymbol{n}=n_\alpha\boldsymbol{g}^\alpha \end{align}

としてその面に働く力を

(4)
\begin{align} \boldsymbol{t}=t_\alpha\boldsymbol{g}^\alpha \end{align}

とすれば

(5)
\begin{align} T^\alpha_{\cdot \beta}n_\alpha\mathrm{da}=t_\beta \end{align}

となります。
Cauchy応力テンソルの成分を用いて1st Piola-Kirchhoff応力テンソルが

(6)
\begin{align} \boldsymbol{P}=\frac{\sqrt{\mathrm{det}g_{ij}}}{\sqrt{\mathrm{det}\hat{g}_{ij}}}T_{\cdot\beta}^{\alpha}\hat{\boldsymbol{g}}_{\alpha}\otimes\boldsymbol{g}^{\beta} \end{align}
(7)
\begin{align} P^{\alpha}_{\cdot\beta}=\frac{\sqrt{\mathrm{det}g_{ij}}}{\sqrt{\mathrm{det}\hat{g}_{ij}}}T_{\cdot\beta}^{\alpha} \end{align}

と定義されます。また、Cauchy応力テンソルの成分を用いて2nd Piola-Kirchhoff応力テンソルが

(8)
\begin{align} \boldsymbol{S}=\frac{\sqrt{\mathrm{det}g_{ij}}}{\sqrt{\mathrm{det}\hat{g}_{ij}}}T^\alpha_{\cdot \gamma} g^{\gamma\beta}\hat{\boldsymbol{g}}_\alpha\otimes\hat{\boldsymbol{g}}_\beta \end{align}
(9)
\begin{align} S^{\alpha\beta}=\frac{\sqrt{\mathrm{det}g_{ij}}}{\sqrt{\mathrm{det}\hat{g}_{ij}}}T^\alpha_{\cdot \gamma} g^{\gamma\beta} \end{align}

と定義されます。ただし$\hat{\boldsymbol{g}}_i,\hat{g}_{ij}$は何かしらの参照座標(初期形状など)から作成されたものを表します。つまり、変分を受けません
なぜこのようなテンソルを定義するのでしょうか。

(10)
\begin{align} \delta w=\int\boldsymbol{T}:\delta\boldsymbol{e}\mathrm{da}=\int\boldsymbol{P}:\nabla\delta\left(\otimes\boldsymbol{u}\right)\mathrm{d\hat{a}}=\int\boldsymbol{S}:\delta\boldsymbol{E}\mathrm{d\hat{a}} =\int T_{\,\cdot k}^{i}g^{kj}\delta g_{ij}\mathrm{da} \end{align}

だからです。このようにいずれのペアも同じ形式を与えます。そのようなペアをエネルギー共役といいます。
ここで

(11)
\begin{align} \mathrm{da}=\sqrt{\mathrm{det}g_{ij}} \end{align}
(12)
\begin{align} \mathrm{d\hat{a}}=\sqrt{\mathrm{det}\hat{g}_{ij}} \end{align}
(13)
\begin{align} \nabla\otimes\boldsymbol{u}=\frac{1}{2}\delta g_{ij}\hat{\boldsymbol{g}}^i\otimes\boldsymbol{g}^j \end{align}

に注意します。
結局仮想仕事の原理

(14)
\begin{align} \delta w=\int T_{\,\cdot k}^{i}g^{kj}\delta g_{ij}\mathrm{da} \end{align}

のみを基本原理にすえればよいことになります。