Strain Tensor

ここで、次のように$\boldsymbol{X},\boldsymbol{u},\boldsymbol{x}$を定義します。

(1)
\begin{align} \boldsymbol{X}(\theta^1,\theta^2,\theta^3)=\boldsymbol{x}(\theta^1,\theta^2,\theta^3)+\boldsymbol{u}(\theta^1,\theta^2,\theta^3) \end{align}

順に変形後の形状、変形前の形状、変位を表します。
また、

(2)
\begin{align} \boldsymbol{G}_i=\frac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial \theta^i} \end{align}
(3)
\begin{align} \boldsymbol{g}_i=\frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \theta^i} \end{align}

としましょう。さらに

(4)
\begin{align} d\boldsymbol{X}=d\theta^i\boldsymbol{G}_i \end{align}
(5)
\begin{align} d\boldsymbol{x}=d\theta^i\boldsymbol{g}_i \end{align}
(6)
\begin{align} d\boldsymbol{u}=d\theta^i\left(\boldsymbol{G}_i-\boldsymbol{g}_i\right) \end{align}

また、単位テンソルは二種類定義できて

(7)
\begin{align} \boldsymbol{I}_x=\boldsymbol{g}_i\otimes\boldsymbol{g}^i \end{align}
(8)
\begin{align} \boldsymbol{I}_X=\boldsymbol{G}_i\otimes\boldsymbol{G}^i \end{align}

3次元ユークリッド空間中の3次元弾性体においては

(9)
\begin{align} \boldsymbol{I}_x=\boldsymbol{I}_X \end{align}

ですが、曲面などでは成り立ちません。
さて、
一般に連続体中では単位テンソルを用いて、

(10)
\begin{align} d\boldsymbol{x}=\boldsymbol{I}_x\cdot d\boldsymbol{x} \end{align}

ですが、変形を考え、自然に拡張すると、

(11)
\begin{align} d\boldsymbol{X}=\boldsymbol{F}\cdot d\boldsymbol{x} \end{align}

と書けます。$d\boldsymbol{X}$は変形後の微小線素です。$\boldsymbol{F}$を変形勾配テンソルと呼びます。
$\boldsymbol{I}_x,\boldsymbol{F},$を用いると$d\boldsymbol{u}$

(12)
\begin{align} d\boldsymbol{u}=d\boldsymbol{X}-d\boldsymbol{x}=\left(\boldsymbol{F}-\boldsymbol{I}_x\right)\cdot d\boldsymbol{x} \end{align}

と書けます。
$\boldsymbol{F}$を具体化します。単位テンソルの拡張として、変形勾配テンソルは

(13)
\begin{align} \boldsymbol{F}=\boldsymbol{G}_i\otimes\boldsymbol{g}^i \end{align}

と定義出来ます。

(14)
\begin{align} d\boldsymbol{X}-d\boldsymbol{x}=(\boldsymbol{F}-\boldsymbol{I}_x)\cdot d\boldsymbol{x}=\left(\boldsymbol{G}_i-\boldsymbol{g}_i\right)\otimes\boldsymbol{g}^i\cdot d\boldsymbol{x}=\left(\boldsymbol{G}_i-\boldsymbol{g}_i\right)d\theta^i=d\boldsymbol{u} \end{align}

となり確かに辻褄があいます。
変形勾配テンソルファミリーは全部で4つ定義されます。

(15)
\begin{align} \boldsymbol{F}=\boldsymbol{G}_i\otimes\boldsymbol{g}^i \end{align}
(16)
\begin{align} \boldsymbol{F}^{-1}=\boldsymbol{g}_i\otimes\boldsymbol{G}^i \end{align}
(17)
\begin{align} \boldsymbol{F}^T=\boldsymbol{g}^i\otimes\boldsymbol{G}_i \end{align}
(18)
\begin{align} \boldsymbol{F}^{-T}=\boldsymbol{G}^i\otimes\boldsymbol{g}_i \end{align}

それぞれ

(19)
\begin{align} \boldsymbol{F}\cdot\boldsymbol{g}_\alpha=\boldsymbol{G}_\alpha \end{align}
(20)
\begin{align} \boldsymbol{F}^{-1}\cdot\boldsymbol{G}_\alpha=\boldsymbol{g}_\alpha \end{align}
(21)
\begin{align} \boldsymbol{F}^T\cdot\boldsymbol{G}^\alpha=\boldsymbol{g}^\alpha \end{align}
(22)
\begin{align} \boldsymbol{F}^{-T}\cdot\boldsymbol{g}^\alpha=\boldsymbol{G}^\alpha \end{align}

なる変換を担います。

さて、歪テンソルの導出に入る前に、変位勾配テンソルを

(23)
\begin{align} \boldsymbol{u}\otimes\nabla_x=\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \theta^i}\otimes\boldsymbol{g}^i \end{align}
(24)
\begin{align} \boldsymbol{u}\otimes\nabla_X=\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \theta^i}\otimes\boldsymbol{G}^i \end{align}
(25)
\begin{align} \nabla_x\otimes\boldsymbol{u}=\boldsymbol{g}^i\otimes\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \theta^i} \end{align}
(26)
\begin{align} \nabla_X\otimes\boldsymbol{u}=\boldsymbol{G}^i\otimes\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \theta^i} \end{align}

で定義しおきます。あとで歪テンソルと比較します。ここで

(27)
\begin{align} \nabla_x\equiv\frac{\partial}{\partial \theta^i}\otimes\boldsymbol{g}^i \end{align}
(28)
\begin{align} \nabla_X\equiv\frac{\partial}{\partial \theta^i}\otimes\boldsymbol{G}^i \end{align}

と定義しました。

(29)
\begin{align} \boldsymbol{u}\otimes\nabla_x\cdot d\boldsymbol{x}=d\boldsymbol{u} \end{align}
(30)
\begin{align} \boldsymbol{u}\otimes\nabla_X\cdot d\boldsymbol{X}=d\boldsymbol{u} \end{align}

ですから実は

(31)
\begin{align} \boldsymbol{u}\otimes\nabla_x=(\boldsymbol{F}-\boldsymbol{I}_x) \end{align}
(32)
\begin{align} \boldsymbol{u}\otimes\nabla_X=(\boldsymbol{I}_X-\boldsymbol{F}^{-1}) \end{align}

です。また、$\nabla_x,\nabla_X$を用いると

(33)
\begin{align} \boldsymbol{F}=\boldsymbol{X}\otimes\nabla_x \end{align}
(34)
\begin{align} \boldsymbol{F}^{-1}=\boldsymbol{x}\otimes\nabla_X \end{align}
(35)
\begin{align} \boldsymbol{F}^T=\nabla_x\otimes\boldsymbol{X} \end{align}
(36)
\begin{align} \boldsymbol{F}^{-T}=\nabla_X\otimes\boldsymbol{x} \end{align}

と表現できます。
歪テンソルはこれとは異なる文脈で定義されます。
まず変形後の第一基本形式と変形前の第一基本形式を考えます。

(37)
\begin{align} \boldsymbol{G}_i\cdot \boldsymbol{G}_j=G_{ij} \end{align}
(38)
\begin{align} \boldsymbol{g}_i\cdot \boldsymbol{g}_j=g_{ij} \end{align}

と定義すると

(39)
\begin{align} d\boldsymbol{X}\cdot d\boldsymbol{X}=G_{ij}d\theta^id\theta^j \end{align}
(40)
\begin{align} d\boldsymbol{x}\cdot d\boldsymbol{x}=g_{ij}d\theta^id\theta^j \end{align}

ですが一方で

(41)
\begin{align} d\boldsymbol{X}\cdot d\boldsymbol{X}=d\boldsymbol{x}\cdot\boldsymbol{g}^i\otimes\boldsymbol{G}_i\cdot\boldsymbol{G}_j\otimes\boldsymbol{g}^j\cdot d\boldsymbol{x}=d\boldsymbol{x}\cdot\boldsymbol{F}^T\cdot\boldsymbol{F}\cdot d\boldsymbol{x} \end{align}
(42)
\begin{align} d\boldsymbol{x}\cdot d\boldsymbol{x}=d\boldsymbol{x}\cdot \boldsymbol{I}_x \cdot d\boldsymbol{x} \end{align}

より

(43)
\begin{align} d\boldsymbol{X}\cdot d\boldsymbol{X}-d\boldsymbol{x}\cdot d\boldsymbol{x}=d\boldsymbol{x}\cdot(\boldsymbol{F}^T\cdot\boldsymbol{F}-\boldsymbol{I}_x)\cdot d\boldsymbol{x} \end{align}

歪を考えるとき、このように変形前と後の微小線素の長さの二乗の差を考えるのが基本となります。

(44)
\begin{align} \boldsymbol{E}=\frac{1}{2}(\boldsymbol{F}^T\cdot\boldsymbol{F}-\boldsymbol{I}_x) \end{align}

をGreenの歪テンソルもしくはLagrangeの歪テンソルといいます。
$\boldsymbol{E}$の成分は当然(第一基本形式の差で定義したため)

(45)
\begin{align} E_{ij}=\boldsymbol{g}_i\cdot\boldsymbol{E}\cdot \boldsymbol{g}_j=\frac{1}{2}(G_{ij}-g_{ij}) \end{align}

で与えられます。
結局Green歪テンソルのもっとも分かりやすい定義は

(46)
\begin{align} \boldsymbol{E}=\frac{1}{2}(G_{ij}-g_{ij})\boldsymbol{g}^i\otimes\boldsymbol{g}^j \end{align}

でしょう。
2次形式との関係は

(47)
\begin{align} \frac{1}{2}(d\boldsymbol{X}\cdot d\boldsymbol{X}-d\boldsymbol{x}\cdot d\boldsymbol{x})=\frac{1}{2}(G_{ij}-g_{ij})d\theta^id\theta^j=E_{ij}d\theta^id\theta^j=d\boldsymbol{x}\cdot\boldsymbol{E}\cdot d\boldsymbol{x} \end{align}

と表せます。
ここで

(48)
\begin{align} G_{ij}=\frac{\partial\boldsymbol{x}+\boldsymbol{u}}{\partial \theta^i}\cdot\frac{\partial\boldsymbol{x}+\boldsymbol{u}}{\partial \theta^j} \end{align}
(49)
\begin{align} =g_{ij}+\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \theta^i}\cdot\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \theta^j}+\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \theta^i}\cdot \boldsymbol{g}_j+\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \theta^j}\cdot \boldsymbol{g}_i \end{align}

より

(50)
\begin{align} E_{ij}=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \theta^i}\cdot\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \theta^j}+\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \theta^i}\cdot \boldsymbol{g}_j+\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \theta^j}\cdot \boldsymbol{g}_i\right) \end{align}

よって、

(51)
\begin{align} \boldsymbol{E}=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \theta^i}\cdot\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \theta^j}+\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \theta^i}\cdot \boldsymbol{g}_j+\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \theta^j}\cdot \boldsymbol{g}_i\right)\boldsymbol{g}^i\otimes\boldsymbol{g}^j \end{align}

ここまでに一切近似は入っていません。

今度は変形後で考えます。

(52)
\begin{align} d\boldsymbol{X}\cdot d\boldsymbol{X}=d\boldsymbol{X}\cdot\boldsymbol{I}_X\cdot d\boldsymbol{X} \end{align}

また、

(53)
\begin{align} d\boldsymbol{x}\cdot d\boldsymbol{x}=d\boldsymbol{X}\cdot \boldsymbol{F}^{-T}\cdot\boldsymbol{F}^{-1}d\boldsymbol{X} \end{align}

ですから

(54)
\begin{align} d\boldsymbol{X}\cdot d\boldsymbol{X}-d\boldsymbol{x}\cdot d\boldsymbol{x}=d\boldsymbol{X}\cdot\left(\boldsymbol{I}_X-\boldsymbol{F}^{-T}\cdot \boldsymbol{F}^{-1}\right)\cdot d\boldsymbol{X} \end{align}

そこで

(55)
\begin{align} \boldsymbol{e}=\frac{1}{2}\left(\boldsymbol{I}_X-\boldsymbol{F}^{-T}\cdot \boldsymbol{F}^{-1}\right) \end{align}

をAlmansiの歪テンソルもしくはEulerの歪テンソルと呼びます。
こちらも、第二基本形式の差として定義しましたので当然

(56)
\begin{align} e_{ij}=\boldsymbol{G}_i\cdot\boldsymbol{e}\cdot\boldsymbol{G}_j=\frac{1}{2}(G_{ij}-g_{ij}) \end{align}

となります。つまりAlmansi-Euler歪テンソルのもっともわかりやすい定義は

(57)
\begin{align} \boldsymbol{e}=\frac{1}{2}(G_{ij}-g_{ij})\boldsymbol{G}^i\otimes\boldsymbol{G}^j \end{align}

となります。
2次形式との関係は

(58)
\begin{align} \frac{1}{2}\left(d\boldsymbol{X}\cdot d\boldsymbol{X}-d\boldsymbol{x}\cdot d\boldsymbol{x}\right)=\frac{1}{2}\left(G_{ij}-g_{ij}\right)d\theta^id\theta^j=E_{ij}d\theta^id\theta^j=d\boldsymbol{X}\cdot\boldsymbol{E}\cdot d\boldsymbol{X} \end{align}

と表せます。

ここで

(59)
\begin{align} g_{ij}=\frac{\partial\boldsymbol{X}-\boldsymbol{u}}{\partial \theta^i}\cdot\frac{\partial\boldsymbol{X}-\boldsymbol{u}}{\partial \theta^j} \end{align}
(60)
\begin{align} =G_{ij}+\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \theta^i}\cdot\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \theta^j}-\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \theta^i}\cdot \boldsymbol{G}_j-\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \theta^j}\cdot \boldsymbol{G}_i \end{align}

より

(61)
\begin{align} e_{ij}=\frac{1}{2}\left(-\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \theta^i}\cdot\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \theta^j}+\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \theta^i}\cdot \boldsymbol{G}_j+\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \theta^j}\cdot \boldsymbol{G}_i\right) \end{align}

よって、

(62)
\begin{align} \boldsymbol{e}=\frac{1}{2}\left(-\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \theta^i}\cdot\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \theta^j}+\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \theta^i}\cdot \boldsymbol{G}_j+\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \theta^j}\cdot \boldsymbol{G}_i\right)\boldsymbol{G}^i\otimes\boldsymbol{G}^j \end{align}

ここまでに一切近似は入っていません。

ここで、これまでに登場したテンソルを一覧します。
微分演算子

(63)
\begin{align} \nabla_x=\frac{\partial}{\partial \theta^i}\otimes\boldsymbol{g}^i \end{align}
(64)
\begin{align} \nabla_X=\frac{\partial}{\partial \theta^i}\otimes\boldsymbol{G}^i \end{align}

単位テンソル

(65)
\begin{align} \boldsymbol{I}_x=\boldsymbol{g}_i\otimes\boldsymbol{g}^i=\boldsymbol{g}^i\otimes\boldsymbol{g}_i \end{align}
(66)
\begin{align} \boldsymbol{I}_X=\boldsymbol{G}_i\otimes\boldsymbol{G}^i=\boldsymbol{G}^i\otimes\boldsymbol{g}_i \end{align}

変形勾配テンソル

(67)
\begin{align} \boldsymbol{F}=\boldsymbol{G}_i\otimes\boldsymbol{g}^i \end{align}
(68)
\begin{align} \boldsymbol{F}^{-1}=\boldsymbol{g}_i\otimes\boldsymbol{G}^i \end{align}
(69)
\begin{align} \boldsymbol{F}^T=\boldsymbol{g}^i\otimes\boldsymbol{G}_i \end{align}
(70)
\begin{align} \boldsymbol{F}^{-T}=\boldsymbol{G}^i\otimes\boldsymbol{g}_i \end{align}

変位勾配テンソル

(71)
\begin{align} \boldsymbol{u}\otimes\nabla_x=\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \theta^i}\otimes\boldsymbol{g}^i=(\boldsymbol{F}-\boldsymbol{I}_x) \end{align}
(72)
\begin{align} \nabla_x\otimes\boldsymbol{u}=\boldsymbol{g}^i\otimes\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \theta^i}=(\boldsymbol{F}^T-\boldsymbol{I}_x) \end{align}
(73)
\begin{align} \boldsymbol{u}\otimes\nabla_X=\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \theta^i}\otimes\boldsymbol{G}^i=(\boldsymbol{F}^{-1}-\boldsymbol{I}_X) \end{align}
(74)
\begin{align} \nabla_X\otimes\boldsymbol{u}=\boldsymbol{G}^i\otimes\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \theta^i}=(\boldsymbol{F}^{-T}-\boldsymbol{I}_X) \end{align}

Green-Lagrange歪テンソル

(75)
\begin{align} \boldsymbol{E}=\frac{1}{2}\left(\boldsymbol{F}^{T}\cdot \boldsymbol{F}-\boldsymbol{I}_x\right) \end{align}
(76)
\begin{align} \boldsymbol{E}=\frac{1}{2}(G_{ij}-g_{ij})\boldsymbol{g}^i\otimes\boldsymbol{g}^j \end{align}
(77)
\begin{align} \boldsymbol{E}=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \theta^i}\cdot\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \theta^j}+\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \theta^i}\cdot \boldsymbol{g}_j+\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \theta^j}\cdot \boldsymbol{g}_i\right)\boldsymbol{g}^i\otimes\boldsymbol{g}^j \end{align}

Almansi-Euler歪テンソル

(78)
\begin{align} \boldsymbol{e}=\frac{1}{2}\left(\boldsymbol{I}_X-\boldsymbol{F}^{-T}\cdot \boldsymbol{F}^{-1}\right) \end{align}
(79)
\begin{align} \boldsymbol{e}=\frac{1}{2}(G_{ij}-g_{ij})\boldsymbol{G}^i\otimes\boldsymbol{G}^j \end{align}
(80)
\begin{align} \boldsymbol{e}=\frac{1}{2}\left(-\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \theta^i}\cdot\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \theta^j}+\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \theta^i}\cdot \boldsymbol{G}_j+\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \theta^j}\cdot \boldsymbol{G}_i\right)\boldsymbol{G}^i\otimes\boldsymbol{G}^j \end{align}

ここで変位の全微分と、第一基本形式の差を一覧してみます。
全微分、2次形式

(81)
\begin{align} d\boldsymbol{u}=\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \theta^i}d\theta^i=(\boldsymbol{F}-\boldsymbol{I})\cdot d\boldsymbol{x} \end{align}
(82)
\begin{align} d\boldsymbol{u}=\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \theta^i}d\theta^i=d\boldsymbol{x}\cdot (\boldsymbol{F}^T-\boldsymbol{I}) \end{align}
(83)
\begin{align} d\boldsymbol{u}=\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \theta^i}d\theta^i=(\boldsymbol{F}^{-1}-\boldsymbol{I})\cdot d\boldsymbol{X} \end{align}
(84)
\begin{align} d\boldsymbol{u}=\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \theta^i}d\theta^i=d\boldsymbol{X}\cdot (\boldsymbol{F}^{-T}-\boldsymbol{I}) \end{align}
(85)
\begin{align} \frac{1}{2}(G_{ij}-g_{ij})d\theta^id\theta^j=E_{ij}d\theta^id\theta^j=d\boldsymbol{x}\cdot\boldsymbol{E}\cdot d\boldsymbol{x} \end{align}
(86)
\begin{align} \frac{1}{2}(G_{ij}-g_{ij})d\theta^id\theta^j=e_{ij}d\theta^id\theta^j=d\boldsymbol{X}\cdot\boldsymbol{e}\cdot d\boldsymbol{X} \end{align}

なんだか、$\boldsymbol{x}$,$\boldsymbol{X}$、前形、後形の区別は人為的なもので、区別する必然性がないように感じられます。
さらに、

(87)
\begin{align} \frac{1}{2}(G_{ij}-g_{ij})d\theta^id\theta^j \end{align}
(88)
\begin{align} \boldsymbol{E}=\frac{1}{2}(G_{ij}-g_{ij})\boldsymbol{g}^i\otimes\boldsymbol{g}^j \end{align}
(89)
\begin{align} \boldsymbol{e}=\frac{1}{2}(G_{ij}-g_{ij})\boldsymbol{G}^i\otimes\boldsymbol{G}^j \end{align}

の3つを見比べると、みんな同じものの異なる表現ではないか?という疑問が湧いてきます。このようにして基底ベクトルはその実体が希薄になり、そもそも第一基本形式が2階のテンソルであると解釈され、現代流の幾何学へと抽象化されていきます。
微小近似
教科書に必ず登場する微小仮定による近似を済ませておきましょう。
変位が十分に小さければ

(90)
\begin{align} \boldsymbol{E}\approx\frac{1}{2}\left(\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \theta^i}\cdot \boldsymbol{g}_j+\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \theta^j}\cdot \boldsymbol{g}_i\right)\boldsymbol{g}^i\otimes\boldsymbol{g}^j \end{align}
(91)
\begin{align} \boldsymbol{e}\approx\frac{1}{2}\left(\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \theta^i}\cdot \boldsymbol{G}_j+\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \theta^j}\cdot \boldsymbol{G}_i\right)\boldsymbol{G}^i\otimes\boldsymbol{G}^j \end{align}
(92)
\begin{align} \frac{1}{2}\left(\boldsymbol{u}\otimes\nabla_x+\nabla_x\otimes\boldsymbol{u}\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \theta^i}\cdot \boldsymbol{g}_j+\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \theta^j}\cdot \boldsymbol{g}_i\right)\boldsymbol{g}^i\otimes\boldsymbol{g}^j \end{align}
(93)
\begin{align} \frac{1}{2}\left(\boldsymbol{u}\otimes\nabla_X+\nabla_X\otimes\boldsymbol{u}\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \theta^i}\cdot \boldsymbol{G}_j+\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \theta^j}\cdot \boldsymbol{G}_i\right)\boldsymbol{G}^i\otimes\boldsymbol{G}^j \end{align}