Introduction to tensors

テンソルの微分

まず、テンソルの全微分は

(1)
\begin{align} d\boldsymbol{T}\equiv\frac{\partial \boldsymbol{T}}{\partial \theta^1}d\theta^1+\cdots \end{align}

と定義できます。
さて、全微分の中の、$d\theta^1\cdots$は、微小量ですが、具体的な値を代入すると、全微分は一つの値に定まります。そこで、全微分の代わりに、n個のパラメータをとる関数$D\boldsymbol{T}$を定義してみます:

(2)
\begin{align} D\boldsymbol{T}(b^1\cdots)\equiv\frac{\partial \boldsymbol{T}}{\partial \theta^1}b^1+\cdots \end{align}

これは形式的に$d\theta^1\rightarrow b^1,d\theta^2\rightarrow b^2\cdots$と置き換えたものです。
さて、n個のパラメータを一つのベクトル$\boldsymbol{b}=b^i\boldsymbol{g}_i$で表すことにしましょう。このベクトルは、微分の方向を与える、と考えられます。

(3)
\begin{align} D\boldsymbol{T}(\boldsymbol{b})\equiv\frac{\partial \boldsymbol{T}}{\partial \theta^1}b^1+\cdots \end{align}

このとき、先ほどの全微分は$d\boldsymbol{x}\equiv d\theta^i\boldsymbol{g}_i$を用いて

(4)
\begin{align} D\boldsymbol{T}(d\boldsymbol{x})\equiv d\boldsymbol{T} \end{align}

と書けます。さて、この$D\boldsymbol{T}$ですが明らかに線形性がありますから、

(5)
\begin{align} D\boldsymbol{T}\cdot \boldsymbol{b}\equiv \frac{\partial \boldsymbol{T}}{\partial \theta^1}b^1+\cdots \end{align}

と再定義します。このように関数の括弧が外せるのが線形性の便利なところです。
実は、この抽象的に書いた$D\boldsymbol{T}$は3階のテンソル(もちろん$\boldsymbol{T}$が2階の場合です。)であることが示せます。それははしょって、結果だけ示します。
まず、便利な微分演算子

(6)
\begin{align} \nabla\equiv\frac{\partial}{\partial \theta^i}\boldsymbol{g}^i \end{align}

を定義すれば、上に述べた記法の変わりに次式を用いることが出来ます。

(7)
\begin{align} D\boldsymbol{T}=\boldsymbol{T}\otimes\nabla\equiv\frac{\partial \boldsymbol{T}}{\partial \theta^i}\otimes\boldsymbol{g}^i \end{align}
(8)
\begin{align} \boldsymbol{T}\otimes\nabla\cdot\boldsymbol{b}\equiv\frac{\partial \boldsymbol{T}}{\partial \theta^i}b^i \end{align}
(9)
\begin{align} \boldsymbol{T}\otimes\nabla\cdot d\boldsymbol{x}\equiv\frac{\partial \boldsymbol{T}}{\partial \theta^i}d\theta^i \end{align}

上から順にテンソルの勾配(後形)、方向微分、全微分と呼びます。
このような導出経緯から、テンソルの勾配(前形)

(10)
\begin{align} \nabla\otimes\boldsymbol{T}\equiv\boldsymbol{g}^i\otimes\frac{\partial \boldsymbol{T}}{\partial \theta^i} \end{align}

が定義できますが、両者は同一ではなく(対称テンソルではないためです)後形には後ろから、前形には前からベクトルを作用させなければ意味がありません。
勾配は

(11)
\begin{align} \mathrm{grad}\boldsymbol{T} \end{align}

や、形式的に

(12)
\begin{align} \frac{\partial \boldsymbol{T}}{\partial \boldsymbol{x}} \end{align}

とも書きますが、この場合後形前形の区別がつきにくくなります。もちろん方向微分、全微分にはそのような問題はありませんので、

(13)
\begin{align} \mathrm{grad}\boldsymbol{T}\cdot d\boldsymbol{x} \end{align}

(14)
\begin{align} \frac{\partial \boldsymbol{T}}{\partial \boldsymbol{x}}\cdot d\boldsymbol{x} \end{align}

と書いた場合、明らかにこれは全微分を意味しますから、後形前形の区別をつける必要がありません。

ここで単位テンソルをもう一度考察すると

(15)
\begin{align} \boldsymbol{x}\otimes\nabla=\frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \theta^i}\otimes\boldsymbol{g}^i=\boldsymbol{I} \end{align}

と書けます。ほかにも

(16)
\begin{align} \frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{x}}=\boldsymbol{I} \end{align}

という書き方も出来ます。
さて、もう一つ、発散を定義しましょう。発散は

(17)
\begin{align} \mathrm{div}\boldsymbol{T}\equiv\frac{\partial \boldsymbol{T}}{\partial \theta^i}\cdot\boldsymbol{g}^i \end{align}

として定義されます。形式的に、

(18)
\begin{align} \mathrm{div}\boldsymbol{T}\equiv\boldsymbol{T}\cdot\nabla \end{align}

とも書けます。

添え字の上げ下げ

添字の上げ下げには明確なルールがあります。
例えば、

(19)
\begin{equation} a_iT^{ij}=c^j \end{equation}

下のiと上のiが打ち消しあい、上のみが生き残りました。
テンソルではありませんが、接続係数

(20)
\begin{align} \Gamma_{ij}^k \end{align}

に対して、

(21)
\begin{align} p^k=\Gamma_{ij}^kq^iq^j \end{align}

下のiと上のi,下のjと上のjが打ち消しあい、上のkが生き残りました。

(22)
\begin{align} w_{j}^{k}=\Gamma_{ij}^kdx^i \end{align}

下のiと上のiが打ち消しあい下のjと上のkが生き残りました。

(23)
\begin{align} \boldsymbol{g}_i=\frac{\partial\boldsymbol{x}}{\partial \theta^i} \end{align}

こちらは、上のiで微分すると下のiが付加されます。

(24)
\begin{align} \boldsymbol{x}_{,i}=\frac{\partial\boldsymbol{x}}{\partial \theta^i} \end{align}

とも書きます。

歪テンソル

ここで、次のように$\boldsymbol{X},\boldsymbol{u},\boldsymbol{x}$を定義します。

(25)
\begin{align} \boldsymbol{X}(\theta^1,\theta^2,\theta^3)=\boldsymbol{x}(\theta^1,\theta^2,\theta^3)+\boldsymbol{u}(\theta^1,\theta^2,\theta^3) \end{align}

順に変形後の形状、変形前の形状、変位を表します。
また、

(26)
\begin{align} \boldsymbol{G}_i=\frac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial \theta^i} \end{align}
(27)
\begin{align} \boldsymbol{g}_i=\frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \theta^i} \end{align}

としましょう。さらに

(28)
\begin{align} d\boldsymbol{X}=d\theta^i\boldsymbol{G}_i \end{align}
(29)
\begin{align} d\boldsymbol{x}=d\theta^i\boldsymbol{g}_i \end{align}
(30)
\begin{align} d\boldsymbol{u}=d\theta^i\left(\boldsymbol{G}_i-\boldsymbol{g}_i\right) \end{align}

また、単位テンソルは二種類定義できて

(31)
\begin{align} \boldsymbol{I}_x=\boldsymbol{g}_i\otimes\boldsymbol{g}^i \end{align}
(32)
\begin{align} \boldsymbol{I}_X=\boldsymbol{G}_i\otimes\boldsymbol{G}^i \end{align}

3次元ユークリッド空間中の3次元弾性体においては

(33)
\begin{align} \boldsymbol{I}_x=\boldsymbol{I}_X \end{align}

ですが、曲面などでは成り立ちません。
さて、
一般に連続体中では単位テンソルを用いて、

(34)
\begin{align} d\boldsymbol{x}=\boldsymbol{I}_x\cdot d\boldsymbol{x} \end{align}

ですが、変形を考え、自然に拡張すると、

(35)
\begin{align} d\boldsymbol{X}=\boldsymbol{F}\cdot d\boldsymbol{x} \end{align}

と書けます。$d\boldsymbol{X}$は変形後の微小線素です。$\boldsymbol{F}$を変形勾配テンソルと呼びます。
$\boldsymbol{I}_x,\boldsymbol{F},$を用いると$d\boldsymbol{u}$

(36)
\begin{align} d\boldsymbol{u}=d\boldsymbol{X}-d\boldsymbol{x}=\left(\boldsymbol{F}-\boldsymbol{I}_x\right)\cdot d\boldsymbol{x} \end{align}

と書けます。
$\boldsymbol{F}$を具体化します。単位テンソルの拡張として、変形勾配テンソルは

(37)
\begin{align} \boldsymbol{F}=\boldsymbol{G}_i\otimes\boldsymbol{g}^i \end{align}

と定義出来ます。

(38)
\begin{align} d\boldsymbol{X}-d\boldsymbol{x}=(\boldsymbol{F}-\boldsymbol{I}_x)\cdot d\boldsymbol{x}=\left(\boldsymbol{G}_i-\boldsymbol{g}_i\right)\otimes\boldsymbol{g}^i\cdot d\boldsymbol{x}=\left(\boldsymbol{G}_i-\boldsymbol{g}_i\right)d\theta^i=d\boldsymbol{u} \end{align}

となり確かに辻褄があいます。
変形勾配テンソルファミリーは全部で4つ定義されます。

(39)
\begin{align} \boldsymbol{F}=\boldsymbol{G}_i\otimes\boldsymbol{g}^i \end{align}
(40)
\begin{align} \boldsymbol{F}^{-1}=\boldsymbol{g}_i\otimes\boldsymbol{G}^i \end{align}
(41)
\begin{align} \boldsymbol{F}^T=\boldsymbol{g}^i\otimes\boldsymbol{G}_i \end{align}
(42)
\begin{align} \boldsymbol{F}^{-T}=\boldsymbol{G}^i\otimes\boldsymbol{g}_i \end{align}

それぞれ

(43)
\begin{align} \boldsymbol{F}\cdot\boldsymbol{g}_\alpha=\boldsymbol{G}_\alpha \end{align}
(44)
\begin{align} \boldsymbol{F}^{-1}\cdot\boldsymbol{G}_\alpha=\boldsymbol{g}_\alpha \end{align}
(45)
\begin{align} \boldsymbol{F}^T\cdot\boldsymbol{G}^\alpha=\boldsymbol{g}^\alpha \end{align}
(46)
\begin{align} \boldsymbol{F}^{-T}\cdot\boldsymbol{g}^\alpha=\boldsymbol{G}^\alpha \end{align}

なる変換を担います。

さて、歪テンソルの導出に入る前に、変位勾配テンソルを

(47)
\begin{align} \boldsymbol{u}\otimes\nabla_x=\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \theta^i}\otimes\boldsymbol{g}^i \end{align}
(48)
\begin{align} \boldsymbol{u}\otimes\nabla_X=\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \theta^i}\otimes\boldsymbol{G}^i \end{align}
(49)
\begin{align} \nabla_x\otimes\boldsymbol{u}=\boldsymbol{g}^i\otimes\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \theta^i} \end{align}
(50)
\begin{align} \nabla_X\otimes\boldsymbol{u}=\boldsymbol{G}^i\otimes\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \theta^i} \end{align}

で定義しおきます。あとで歪テンソルと比較します。ここで

(51)
\begin{align} \nabla_x\equiv\frac{\partial}{\partial \theta^i}\otimes\boldsymbol{g}^i \end{align}
(52)
\begin{align} \nabla_X\equiv\frac{\partial}{\partial \theta^i}\otimes\boldsymbol{G}^i \end{align}

と定義しました。

(53)
\begin{align} \boldsymbol{u}\otimes\nabla_x\cdot d\boldsymbol{x}=d\boldsymbol{u} \end{align}
(54)
\begin{align} \boldsymbol{u}\otimes\nabla_X\cdot d\boldsymbol{X}=d\boldsymbol{u} \end{align}

ですから実は

(55)
\begin{align} \boldsymbol{u}\otimes\nabla_x=(\boldsymbol{F}-\boldsymbol{I}_x) \end{align}
(56)
\begin{align} \boldsymbol{u}\otimes\nabla_X=(\boldsymbol{I}_X-\boldsymbol{F}^{-1}) \end{align}

です。また、$\nabla_x,\nabla_X$を用いると

(57)
\begin{align} \boldsymbol{F}=\boldsymbol{X}\otimes\nabla_x \end{align}
(58)
\begin{align} \boldsymbol{F}^{-1}=\boldsymbol{x}\otimes\nabla_X \end{align}
(59)
\begin{align} \boldsymbol{F}^T=\nabla_x\otimes\boldsymbol{X} \end{align}
(60)
\begin{align} \boldsymbol{F}^{-T}=\nabla_X\otimes\boldsymbol{x} \end{align}

と表現できます。
歪テンソルはこれとは異なる文脈で定義されます。
まず変形後の第一基本形式と変形前の第一基本形式を考えます。

(61)
\begin{align} \boldsymbol{G}_i\cdot \boldsymbol{G}_j=G_{ij} \end{align}
(62)
\begin{align} \boldsymbol{g}_i\cdot \boldsymbol{g}_j=g_{ij} \end{align}

と定義すると

(63)
\begin{align} d\boldsymbol{X}\cdot d\boldsymbol{X}=G_{ij}d\theta^id\theta^j \end{align}
(64)
\begin{align} d\boldsymbol{x}\cdot d\boldsymbol{x}=g_{ij}d\theta^id\theta^j \end{align}

ですが一方で

(65)
\begin{align} d\boldsymbol{X}\cdot d\boldsymbol{X}=d\boldsymbol{x}\cdot\boldsymbol{g}^i\otimes\boldsymbol{G}_i\cdot\boldsymbol{G}_j\otimes\boldsymbol{g}^j\cdot d\boldsymbol{x}=d\boldsymbol{x}\cdot\boldsymbol{F}^T\cdot\boldsymbol{F}\cdot d\boldsymbol{x} \end{align}
(66)
\begin{align} d\boldsymbol{x}\cdot d\boldsymbol{x}=d\boldsymbol{x}\cdot \boldsymbol{I}_x \cdot d\boldsymbol{x} \end{align}

より

(67)
\begin{align} d\boldsymbol{X}\cdot d\boldsymbol{X}-d\boldsymbol{x}\cdot d\boldsymbol{x}=d\boldsymbol{x}\cdot(\boldsymbol{F}^T\cdot\boldsymbol{F}-\boldsymbol{I}_x)\cdot d\boldsymbol{x} \end{align}

歪を考えるとき、このように変形前と後の微小線素の長さの二乗の差を考えるのが基本となります。

(68)
\begin{align} \boldsymbol{E}=\frac{1}{2}(\boldsymbol{F}^T\cdot\boldsymbol{F}-\boldsymbol{I}_x) \end{align}

をGreenの歪テンソルもしくはLagrangeの歪テンソルといいます。
$\boldsymbol{E}$の成分は当然(第一基本形式の差で定義したため)

(69)
\begin{align} E_{ij}=\boldsymbol{g}_i\cdot\boldsymbol{E}\cdot \boldsymbol{g}_j=\frac{1}{2}(G_{ij}-g_{ij}) \end{align}

で与えられます。
結局Green歪テンソルのもっとも分かりやすい定義は

(70)
\begin{align} \boldsymbol{E}=\frac{1}{2}(G_{ij}-g_{ij})\boldsymbol{g}^i\otimes\boldsymbol{g}^j \end{align}

でしょう。
2次形式との関係は

(71)
\begin{align} \frac{1}{2}(d\boldsymbol{X}\cdot d\boldsymbol{X}-d\boldsymbol{x}\cdot d\boldsymbol{x})=\frac{1}{2}(G_{ij}-g_{ij})d\theta^id\theta^j=E_{ij}d\theta^id\theta^j=d\boldsymbol{x}\cdot\boldsymbol{E}\cdot d\boldsymbol{x} \end{align}

と表せます。
ここで

(72)
\begin{align} G_{ij}=\frac{\partial\boldsymbol{x}+\boldsymbol{u}}{\partial \theta^i}\cdot\frac{\partial\boldsymbol{x}+\boldsymbol{u}}{\partial \theta^j} \end{align}
(73)
\begin{align} =g_{ij}+\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \theta^i}\cdot\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \theta^j}+\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \theta^i}\cdot \boldsymbol{g}_j+\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \theta^j}\cdot \boldsymbol{g}_i \end{align}

より

(74)
\begin{align} E_{ij}=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \theta^i}\cdot\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \theta^j}+\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \theta^i}\cdot \boldsymbol{g}_j+\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \theta^j}\cdot \boldsymbol{g}_i\right) \end{align}

よって、

(75)
\begin{align} \boldsymbol{E}=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \theta^i}\cdot\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \theta^j}+\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \theta^i}\cdot \boldsymbol{g}_j+\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \theta^j}\cdot \boldsymbol{g}_i\right)\boldsymbol{g}^i\otimes\boldsymbol{g}^j \end{align}

ここまでに一切近似は入っていません。

今度は変形後で考えます。

(76)
\begin{align} d\boldsymbol{X}\cdot d\boldsymbol{X}=d\boldsymbol{X}\cdot\boldsymbol{I}_X\cdot d\boldsymbol{X} \end{align}

また、

(77)
\begin{align} d\boldsymbol{x}\cdot d\boldsymbol{x}=d\boldsymbol{X}\cdot \boldsymbol{F}^{-T}\cdot\boldsymbol{F}^{-1}d\boldsymbol{X} \end{align}

ですから

(78)
\begin{align} d\boldsymbol{X}\cdot d\boldsymbol{X}-d\boldsymbol{x}\cdot d\boldsymbol{x}=d\boldsymbol{X}\cdot\left(\boldsymbol{I}_X-\boldsymbol{F}^{-T}\cdot \boldsymbol{F}^{-1}\right)\cdot d\boldsymbol{X} \end{align}

そこで

(79)
\begin{align} \boldsymbol{e}=\frac{1}{2}\left(\boldsymbol{I}_X-\boldsymbol{F}^{-T}\cdot \boldsymbol{F}^{-1}\right) \end{align}

をAlmansiの歪テンソルもしくはEulerの歪テンソルと呼びます。
こちらも、第二基本形式の差として定義しましたので当然

(80)
\begin{align} e_{ij}=\boldsymbol{G}_i\cdot\boldsymbol{e}\cdot\boldsymbol{G}_j=\frac{1}{2}(G_{ij}-g_{ij}) \end{align}

となります。つまりAlmansi-Euler歪テンソルのもっともわかりやすい定義は

(81)
\begin{align} \boldsymbol{e}=\frac{1}{2}(G_{ij}-g_{ij})\boldsymbol{G}^i\otimes\boldsymbol{G}^j \end{align}

となります。
2次形式との関係は

(82)
\begin{align} \frac{1}{2}\left(d\boldsymbol{X}\cdot d\boldsymbol{X}-d\boldsymbol{x}\cdot d\boldsymbol{x}\right)=\frac{1}{2}\left(G_{ij}-g_{ij}\right)d\theta^id\theta^j=E_{ij}d\theta^id\theta^j=d\boldsymbol{X}\cdot\boldsymbol{E}\cdot d\boldsymbol{X} \end{align}

と表せます。

ここで

(83)
\begin{align} g_{ij}=\frac{\partial\boldsymbol{X}-\boldsymbol{u}}{\partial \theta^i}\cdot\frac{\partial\boldsymbol{X}-\boldsymbol{u}}{\partial \theta^j} \end{align}
(84)
\begin{align} =G_{ij}+\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \theta^i}\cdot\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \theta^j}-\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \theta^i}\cdot \boldsymbol{G}_j-\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \theta^j}\cdot \boldsymbol{G}_i \end{align}

より

(85)
\begin{align} e_{ij}=\frac{1}{2}\left(-\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \theta^i}\cdot\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \theta^j}+\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \theta^i}\cdot \boldsymbol{G}_j+\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \theta^j}\cdot \boldsymbol{G}_i\right) \end{align}

よって、

(86)
\begin{align} \boldsymbol{e}=\frac{1}{2}\left(-\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \theta^i}\cdot\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \theta^j}+\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \theta^i}\cdot \boldsymbol{G}_j+\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \theta^j}\cdot \boldsymbol{G}_i\right)\boldsymbol{G}^i\otimes\boldsymbol{G}^j \end{align}

ここまでに一切近似は入っていません。

ここで、これまでに登場したテンソルを一覧します。
微分演算子

(87)
\begin{align} \nabla_x=\frac{\partial}{\partial \theta^i}\otimes\boldsymbol{g}^i \end{align}
(88)
\begin{align} \nabla_X=\frac{\partial}{\partial \theta^i}\otimes\boldsymbol{G}^i \end{align}

単位テンソル

(89)
\begin{align} \boldsymbol{I}_x=\boldsymbol{g}_i\otimes\boldsymbol{g}^i=\boldsymbol{g}^i\otimes\boldsymbol{g}_i \end{align}
(90)
\begin{align} \boldsymbol{I}_X=\boldsymbol{G}_i\otimes\boldsymbol{G}^i=\boldsymbol{G}^i\otimes\boldsymbol{g}_i \end{align}

変形勾配テンソル

(91)
\begin{align} \boldsymbol{F}=\boldsymbol{G}_i\otimes\boldsymbol{g}^i \end{align}
(92)
\begin{align} \boldsymbol{F}^{-1}=\boldsymbol{g}_i\otimes\boldsymbol{G}^i \end{align}
(93)
\begin{align} \boldsymbol{F}^T=\boldsymbol{g}^i\otimes\boldsymbol{G}_i \end{align}
(94)
\begin{align} \boldsymbol{F}^{-T}=\boldsymbol{G}^i\otimes\boldsymbol{g}_i \end{align}

変位勾配テンソル

(95)
\begin{align} \boldsymbol{u}\otimes\nabla_x=\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \theta^i}\otimes\boldsymbol{g}^i=(\boldsymbol{F}-\boldsymbol{I}_x) \end{align}
(96)
\begin{align} \nabla_x\otimes\boldsymbol{u}=\boldsymbol{g}^i\otimes\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \theta^i}=(\boldsymbol{F}^T-\boldsymbol{I}_x) \end{align}
(97)
\begin{align} \boldsymbol{u}\otimes\nabla_X=\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \theta^i}\otimes\boldsymbol{G}^i=(\boldsymbol{F}^{-1}-\boldsymbol{I}_X) \end{align}
(98)
\begin{align} \nabla_X\otimes\boldsymbol{u}=\boldsymbol{G}^i\otimes\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \theta^i}=(\boldsymbol{F}^{-T}-\boldsymbol{I}_X) \end{align}

Green-Lagrange歪テンソル

(99)
\begin{align} \boldsymbol{E}=\frac{1}{2}\left(\boldsymbol{F}^{T}\cdot \boldsymbol{F}-\boldsymbol{I}_x\right) \end{align}
(100)
\begin{align} \boldsymbol{E}=\frac{1}{2}(G_{ij}-g_{ij})\boldsymbol{g}^i\otimes\boldsymbol{g}^j \end{align}
(101)
\begin{align} \boldsymbol{E}=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \theta^i}\cdot\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \theta^j}+\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \theta^i}\cdot \boldsymbol{g}_j+\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \theta^j}\cdot \boldsymbol{g}_i\right)\boldsymbol{g}^i\otimes\boldsymbol{g}^j \end{align}

Almansi-Euler歪テンソル

(102)
\begin{align} \boldsymbol{e}=\frac{1}{2}\left(\boldsymbol{I}_X-\boldsymbol{F}^{-T}\cdot \boldsymbol{F}^{-1}\right) \end{align}
(103)
\begin{align} \boldsymbol{e}=\frac{1}{2}(G_{ij}-g_{ij})\boldsymbol{G}^i\otimes\boldsymbol{G}^j \end{align}
(104)
\begin{align} \boldsymbol{e}=\frac{1}{2}\left(-\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \theta^i}\cdot\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \theta^j}+\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \theta^i}\cdot \boldsymbol{G}_j+\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \theta^j}\cdot \boldsymbol{G}_i\right)\boldsymbol{G}^i\otimes\boldsymbol{G}^j \end{align}

ここで変位の全微分と、第一基本形式の差を一覧してみます。
全微分、2次形式

(105)
\begin{align} d\boldsymbol{u}=\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \theta^i}d\theta^i=(\boldsymbol{F}-\boldsymbol{I})\cdot d\boldsymbol{x} \end{align}
(106)
\begin{align} d\boldsymbol{u}=\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \theta^i}d\theta^i=d\boldsymbol{x}\cdot (\boldsymbol{F}^T-\boldsymbol{I}) \end{align}
(107)
\begin{align} d\boldsymbol{u}=\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \theta^i}d\theta^i=(\boldsymbol{F}^{-1}-\boldsymbol{I})\cdot d\boldsymbol{X} \end{align}
(108)
\begin{align} d\boldsymbol{u}=\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \theta^i}d\theta^i=d\boldsymbol{X}\cdot (\boldsymbol{F}^{-T}-\boldsymbol{I}) \end{align}
(109)
\begin{align} \frac{1}{2}(G_{ij}-g_{ij})d\theta^id\theta^j=E_{ij}d\theta^id\theta^j=d\boldsymbol{x}\cdot\boldsymbol{E}\cdot d\boldsymbol{x} \end{align}
(110)
\begin{align} \frac{1}{2}(G_{ij}-g_{ij})d\theta^id\theta^j=e_{ij}d\theta^id\theta^j=d\boldsymbol{X}\cdot\boldsymbol{e}\cdot d\boldsymbol{X} \end{align}

なんだか、$\boldsymbol{x}$,$\boldsymbol{X}$、前形、後形の区別は人為的なもので、区別する必然性がないように感じられます。
さらに、

(111)
\begin{align} \frac{1}{2}(G_{ij}-g_{ij})d\theta^id\theta^j \end{align}
(112)
\begin{align} \boldsymbol{E}=\frac{1}{2}(G_{ij}-g_{ij})\boldsymbol{g}^i\otimes\boldsymbol{g}^j \end{align}
(113)
\begin{align} \boldsymbol{e}=\frac{1}{2}(G_{ij}-g_{ij})\boldsymbol{G}^i\otimes\boldsymbol{G}^j \end{align}

の3つを見比べると、みんな同じものの異なる表現ではないか?という疑問が湧いてきます。このようにして基底ベクトルはその実体が希薄になり、そもそも第一基本形式が2階のテンソルであると解釈され、現代流の幾何学へと抽象化されていきます。
微小近似
教科書に必ず登場する微小仮定による近似を済ませておきましょう。
変位が十分に小さければ

(114)
\begin{align} \boldsymbol{E}\approx\frac{1}{2}\left(\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \theta^i}\cdot \boldsymbol{g}_j+\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \theta^j}\cdot \boldsymbol{g}_i\right)\boldsymbol{g}^i\otimes\boldsymbol{g}^j \end{align}
(115)
\begin{align} \boldsymbol{e}\approx\frac{1}{2}\left(\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \theta^i}\cdot \boldsymbol{G}_j+\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \theta^j}\cdot \boldsymbol{G}_i\right)\boldsymbol{G}^i\otimes\boldsymbol{G}^j \end{align}
(116)
\begin{align} \frac{1}{2}\left(\boldsymbol{u}\otimes\nabla_x+\nabla_x\otimes\boldsymbol{u}\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \theta^i}\cdot \boldsymbol{g}_j+\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \theta^j}\cdot \boldsymbol{g}_i\right)\boldsymbol{g}^i\otimes\boldsymbol{g}^j \end{align}
(117)
\begin{align} \frac{1}{2}\left(\boldsymbol{u}\otimes\nabla_X+\nabla_X\otimes\boldsymbol{u}\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \theta^i}\cdot \boldsymbol{G}_j+\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \theta^j}\cdot \boldsymbol{G}_i\right)\boldsymbol{G}^i\otimes\boldsymbol{G}^j \end{align}

応力テンソル

連続体からある微小直方体(直方体でなくてもよいです)を取り出し、その一つの面について面積を$da$とし、単位法線ベクトル(外向き)を$\boldsymbol{n}$、その面に働く力を$\boldsymbol{t}$としたとき、Cauchy応力テンソル

(118)
\begin{align} \boldsymbol{n}\cdot \boldsymbol{T}da=\boldsymbol{t} \end{align}

であるような$\boldsymbol{T}$と定義されます。
テンソルの成分は4つありますが、基本的には

(119)
\begin{align} \boldsymbol{T}=T^{\alpha}_{\cdot \beta}\boldsymbol{g}_\alpha\otimes\boldsymbol{g}^\beta \end{align}

のみを用います。
力を取り出す面を指定するための単位法線ベクトルを

(120)
\begin{align} \boldsymbol{n}=n_\alpha\boldsymbol{g}^\alpha \end{align}

としてその面に働く力を

(121)
\begin{align} \boldsymbol{t}=t_\alpha\boldsymbol{g}^\alpha \end{align}

とすれば

(122)
\begin{align} T^\alpha_{\cdot \beta}n_\alpha\mathrm{da}=t_\beta \end{align}

となります。
Cauchy応力テンソルの成分を用いて1st Piola-Kirchhoff応力テンソルが

(123)
\begin{align} \boldsymbol{P}=\frac{\sqrt{\mathrm{det}g_{ij}}}{\sqrt{\mathrm{det}\hat{g}_{ij}}}T_{\cdot\beta}^{\alpha}\hat{\boldsymbol{g}}_{\alpha}\otimes\boldsymbol{g}^{\beta} \end{align}
(124)
\begin{align} P^{\alpha}_{\cdot\beta}=\frac{\sqrt{\mathrm{det}g_{ij}}}{\sqrt{\mathrm{det}\hat{g}_{ij}}}T_{\cdot\beta}^{\alpha} \end{align}

と定義されます。また、Cauchy応力テンソルの成分を用いて2nd Piola-Kirchhoff応力テンソルが

(125)
\begin{align} \boldsymbol{S}=\frac{\sqrt{\mathrm{det}g_{ij}}}{\sqrt{\mathrm{det}\hat{g}_{ij}}}T^\alpha_{\cdot \gamma} g^{\gamma\beta}\hat{\boldsymbol{g}}_\alpha\otimes\hat{\boldsymbol{g}}_\beta \end{align}
(126)
\begin{align} S^{\alpha\beta}=\frac{\sqrt{\mathrm{det}g_{ij}}}{\sqrt{\mathrm{det}\hat{g}_{ij}}}T^\alpha_{\cdot \gamma} g^{\gamma\beta} \end{align}

と定義されます。ただし$\hat{\boldsymbol{g}}_i,\hat{g}_{ij}$は何かしらの参照座標(初期形状など)から作成されたものを表します。つまり、変分を受けません
なぜこのようなテンソルを定義するのでしょうか。

(127)
\begin{align} \delta w=\int\boldsymbol{T}:\delta\boldsymbol{e}\mathrm{da}=\int\boldsymbol{P}:\nabla\delta\left(\otimes\boldsymbol{u}\right)\mathrm{d\hat{a}}=\int\boldsymbol{S}:\delta\boldsymbol{E}\mathrm{d\hat{a}} =\int T_{\,\cdot k}^{i}g^{kj}\delta g_{ij}\mathrm{da} \end{align}

だからです。このようにいずれのペアも同じ形式を与えます。そのようなペアをエネルギー共役といいます。
ここで

(128)
\begin{align} \mathrm{da}=\sqrt{\mathrm{det}g_{ij}} \end{align}
(129)
\begin{align} \mathrm{d\hat{a}}=\sqrt{\mathrm{det}\hat{g}_{ij}} \end{align}
(130)
\begin{align} \nabla\otimes\boldsymbol{u}=\frac{1}{2}\delta g_{ij}\hat{\boldsymbol{g}}^i\otimes\boldsymbol{g}^j \end{align}

に注意します。
結局仮想仕事の原理

(131)
\begin{align} \delta w=\int T_{\,\cdot k}^{i}g^{kj}\delta g_{ij}\mathrm{da} \end{align}

のみを基本原理にすえればよいことになります。

変分色々

(132)
\begin{align} \delta\boldsymbol{x}=\delta\boldsymbol{u}\equiv\left[\begin{array}{c}\delta x\\ \delta y\\ \delta z\end{array}\right] \end{align}

仮想変位と呼びます。

(133)
\begin{align} \delta\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{x}}=\frac{\partial \delta\boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{x}}\equiv\delta\boldsymbol{u}\otimes\nabla \end{align}

仮想歪とは呼びません。なんて呼ぶんだろう。