積分可能条件

以下ではEinsteinの総和規約(Einstein summation convention)を断りなく用います。

もっとも単純な可積分条件

関数$p(\theta^1,\theta^2),q(\theta^1,\theta^2)$が与えられたとき

(1)
\begin{align} p=\frac{\partial f}{\partial \theta^1},q=\frac{\partial f}{\partial \theta^2} \end{align}

と書けるような関数$f(\theta^1,\theta^2)$が見つかる必要条件を積分可能条件と呼びます。
基本的なアイデアはとても簡単です。偏微分は順序に依らないこと、つまり

(2)
\begin{align} \frac{\partial^2 f}{\partial \theta^1\partial \theta^2}=\frac{\partial^2 f}{\partial \theta^2\partial \theta^1} \end{align}

を用いるのです。すると、

(3)
\begin{align} \frac{\partial p}{\partial \theta^2}=\frac{\partial^2 f}{\partial \theta^2\partial \theta^1},\frac{\partial q}{\partial \theta^1}=\frac{\partial^2 f}{\partial \theta^1\partial \theta^2} \end{align}

より、

(4)
\begin{align} \frac{\partial p}{\partial \theta^2}=\frac{\partial q}{\partial \theta^1} \end{align}

これが可積分条件となります。十分条件とはいえないことに注意しましょう。

微分形式と外微分を用いた表示

今度は関数$p(\theta^1,\theta^2,\theta^3),q(\theta^1,\theta^2,\theta^3),r(\theta^1,\theta^2,\theta^3)$が与えられたとき

(5)
\begin{align} p=\frac{\partial f}{\partial \theta^1},q=\frac{\partial f}{\partial \theta^2},r=\frac{\partial f}{\partial \theta^3} \end{align}

と書けるような関数$f(\theta^1,\theta^2,\theta^3)$が見つかる必要条件を積分可能条件を導きましょう。
まず、微分1形式(1-form)を

(6)
\begin{align} \omega=a_1d\theta^1+a_2d\theta^2+a_3d\theta^3 \end{align}

と定義します。
関数$f$の全微分は微分1形式で

(7)
\begin{align} df=\frac{\partial f}{\partial \theta^1}d\theta^1+\frac{\partial f}{\partial \theta^2}d\theta^2+\frac{\partial f}{\partial \theta^3}d\theta^3 \end{align}

となります。一方で、微分1形式

(8)
\begin{align} \omega=pd\theta^1+qd\theta^2+rd\theta^3 \end{align}

を定義すれば前述の積分可能条件は

(9)
\begin{align} df=\omega \end{align}

と書ける関数$f$が存在する条件として簡潔かつ明快に定式化できます。そのような$f$が存在するとき$\omega$を完全形式(Perfect Form)と呼びます。
次に微分2形式(2-form)を定義します。これは

(10)
\begin{align} \omega=a_1d\theta^2\wedge d\theta^3+a_2d\theta^3\wedge d\theta^1+a_3d\theta^1\wedge d\theta^2 \end{align}

と書かれます。$d\theta^\alpha\wedge d\theta^\beta$は微分2形式の基底ですが次のようなルールが定められているため

(11)
\begin{align} d\theta^\alpha \wedge d\theta^\alpha=0 \end{align}
(12)
\begin{align} d\theta^\alpha\wedge d\theta^\beta=-d\theta^\beta\wedge d\theta^\alpha \end{align}

独立な基底は3本となります。このような積をウエッジ積または単に外積(ベクトル代数の外積を3次元以外に拡張したもの)と呼びます。
微分1形式から微分2形式を作成する演算として外微分(exterior differential)を定義します。

(13)
\begin{align} \omega=a_1d\theta^1+a_2d\theta^2+a_3d\theta^3 \end{align}

に対して

(14)
\begin{align} d\omega\equiv\frac{\partial a_1}{\partial \theta^k}d\theta^k\wedge d\theta^1+\frac{\partial a_2}{\partial \theta^k}d\theta^k\wedge d\theta^2+\frac{\partial a_3}{\partial \theta^k}d\theta^k\wedge d\theta^3(k=1,2,3) \end{align}

という演算を外微分と呼びます。前述のウェッジ積のルールにより

(15)
\begin{align} d\omega=\left(\frac{\partial a_2}{\partial \theta^1}-\frac{\partial a_1}{\partial \theta^2}\right)d\theta^1\wedge d\theta^2+\left(\frac{\partial a_3}{\partial \theta^2}-\frac{\partial a_2}{\partial \theta^3}\right)d\theta^2\wedge d\theta^3+\left(\frac{\partial a_1}{\partial \theta^3}-\frac{\partial a_3}{\partial \theta^1}\right)d\theta^3\wedge d\theta^1 \end{align}

さて、以上より積分可能条件が機械的に導出できます

(16)
\begin{align} ddf=\left(\frac{\partial^2 f}{\partial \theta^1\partial\theta^2}-\frac{\partial^2 f}{\partial \theta^2\partial\theta^1}\right)d\theta^1\wedge d\theta^2+\cdots=0 \end{align}

ですから

(17)
\begin{align} df=\omega \end{align}

なる$f$が存在するならば必ず

(18)
\begin{align} d\omega=0 \end{align}

一方で$d\omega=0$が満たされたとしても必ず$df=\omega$なる$f$が見つかるとは限りませんからこれは必要条件であり十分条件ではありません。一般に$d\omega=0$を満たす微分形式を閉形式(closed form)と呼びます。
成分表示すると

(19)
\begin{align} d\omega=\left(\frac{\partial q}{\partial \theta^1}-\frac{\partial p}{\partial \theta^2}\right)d\theta^1\wedge d\theta^2+\left(\frac{\partial r}{\partial \theta^2}-\frac{\partial q}{\partial \theta^3}\right)d\theta^2\wedge d\theta^3+\left(\frac{\partial p}{\partial \theta^3}-\frac{\partial r}{\partial \theta^1}\right)d\theta^3\wedge d\theta^1=0 \end{align}

より

(20)
\begin{align} \frac{\partial q}{\partial \theta^1}-\frac{\partial p}{\partial \theta^2}=0\ ,\ \frac{\partial r}{\partial \theta^2}-\frac{\partial q}{\partial \theta^3}=0\ ,\ \frac{\partial p}{\partial \theta^3}-\frac{\partial r}{\partial \theta^1}=0\ ,\ \end{align}

同様に任意の微分1形式

(21)
\begin{align} df=\frac{\partial f}{\partial \theta^i}d\theta^i(1\le i \le N) \end{align}

に対し

(22)
\begin{align} ddf=\left(\frac{\partial^2 f}{\partial \theta^i \partial \theta^j}-\frac{\partial^2 f}{\partial \theta^j \partial\theta^i}\right)d\theta^i \wedge\theta^j=0(1\le i,j \le N) \end{align}

からN個の関数から1個の関数に積分可能な必要条件が機械的に求まります。

St. Venantの歪の適合条件

微小ひずみは

(23)
\begin{align} e_{ij}=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial u_j}{\partial \theta^i}+\frac{\partial u_i}{\partial \theta^j}\right)(1\le i,j \le 3) \end{align}

として定義されます。
よく知られているように

(24)
\begin{equation} e_{ij}=e_{ji} \end{equation}

ですから3次元の場合6つの歪の成分があります。歪が与えられたとき、$u_1,u_2,u_3$つまり変位を積分できるための必要条件をSt.Venantの歪の適合条件と呼びます。
つまり、歪は3次元ユークリッド空間によく適合していなければなりません
ここでは、任意の関数$f$に対して$ddf=0$を用います。
まず、歪から2次形式

(25)
\begin{align} e_{ij}d\theta^i d\theta^j \end{align}

を作成します。2次形式はディアドを用いて

(26)
\begin{align} e_{ij}d\theta^i \otimes d\theta^j \end{align}

と書くこともできます。結局歪の適合条件は

(27)
\begin{align} e_{ij}d\theta^i \otimes d\theta^j \end{align}

(28)
\begin{align} \frac{1}{2}\left(\frac{\partial u_j}{\partial \theta^i}+\frac{\partial u_i}{\partial \theta^j}\right)d\theta^i \otimes d\theta^j \end{align}

と書けるような$u_1\cdots u_N$が見つかる条件となります。
このようなディアド積に対しては外微分は前形、後形の二つが別々に定義されます。つまり

(29)
\begin{align} d\wedge\left( a_{ij}d\theta^i\otimes d\theta^j\right)=\frac{\partial a_{ij}}{\partial\theta^k}d\theta^k\wedge d\theta^i\otimes d\theta^j \end{align}
(30)
\begin{align} \left( a_{ij}d\theta^i\otimes d\theta^j\right)\wedge d=\frac{\partial a_{ij}}{\partial\theta^k} d\theta^i\otimes d\theta^j\wedge d\theta^k \end{align}

と定義されます。さらに

(31)
\begin{align} \left(d\wedge\left( a_{ij}d\theta^i\otimes d\theta^j\right)\right)\wedge d=\frac{\partial^2 a_{ij}}{\partial \theta^l\partial\theta^k}d\theta^k\wedge d\theta^i\otimes d\theta^j\wedge \theta^l \end{align}
(32)
\begin{align} d\wedge\left(\left( a_{ij}d\theta^i\otimes d\theta^j\right)\wedge d\right)= \frac{\partial^2 a_{ij}}{\partial \theta^l \partial\theta^k} d\theta^l \wedge d\theta^i\otimes d\theta^j\wedge d\theta^k \end{align}

両者が$k,l$に関して対称であることにより

(33)
\begin{align} \left(d\wedge\left(a_{ij} d\theta^i \otimes d\theta^j\right) \right)\wedge d=d\wedge\left(\left(a_{ij} d\theta^i \otimes d\theta^j\right) \wedge d\right) \end{align}

ですから、新しい演算$d\wedge \left(a_{ij}d\theta^i\otimes d\theta^j\right)\wedge d$

(34)
\begin{align} d\wedge \left(a_{ij}d\theta^i\otimes d\theta^j\right)\wedge d=\left(d\wedge\left(a_ij d\theta^i \otimes d\theta^j\right) \right)\wedge d \end{align}
(35)
\begin{align} d\wedge \left(a_{ij}d\theta^i\otimes d\theta^j\right)\wedge d=d\wedge\left(\left(a_ij d\theta^i \otimes d\theta^j\right) \wedge d\right) \end{align}

のどちらを用いてもよいと多重定義できます。
さらに、

(36)
\begin{align} \nu=\nu_{ij}d\theta^i\otimes d\theta^j \end{align}
(37)
\begin{align} \mu=\mu_{ij}d\theta^i\otimes d\theta^j \end{align}

なる二つのディアド積に対し、$\nu,\mu$のそれぞれに異なる計算順序を用いて

(38)
\begin{align} d\wedge (\nu+\mu)\wedge d=d\wedge(\nu\wedge d)+(d\wedge \mu)\wedge d \end{align}

と計算しても問題は生じません。
以上で役者が出揃いました。St. Venantの適合方程式の導出を行います。

(39)
\begin{align} \frac{1}{2}\left(\frac{\partial u_j}{\partial \theta^i}+\frac{\partial u_i}{\partial \theta^j}\right)d\theta^i\otimes d\theta^j \end{align}

に対し

(40)
\begin{align} \frac{1}{2}d\wedge\left(\left(\frac{\partial u_j}{\partial \theta^i}+\frac{\partial u_i}{\partial \theta^j}\right)d\theta^i \otimes d\theta^j\right)\wedge d \end{align}

を計算してみましょう。これは以下の二つの量の和として計算出来ます。

(41)
\begin{align} \frac{1}{2}\left(d\wedge\left(\frac{\partial u_j}{\partial \theta^i}d\theta^i\otimes d\theta^j\right)\right)\wedge d \end{align}
(42)
\begin{align} \frac{1}{2}d\wedge\left(\left(\frac{\partial u_i}{\partial \theta^j}d\theta^i\otimes d\theta^j\right)\wedge d\right) \end{align}

ところが

(43)
\begin{align} d\wedge\left(\frac{\partial u_j}{\partial\theta^i}d\theta^i\right)=0 \end{align}
(44)
\begin{align} d\wedge\left(\frac{\partial u_i}{\partial \theta^j}d\theta^j\right)=0 \end{align}

ですから両者は共に0となり、結局

(45)
\begin{align} \frac{1}{2}d\wedge\left(\left(\frac{\partial u_j}{\partial \theta^i}+\frac{\partial u_i}{\partial \theta^j}\right)d\theta^i \otimes d\theta^j\right)\wedge d=0 \end{align}

これより可積分条件が導出できます。つまり

(46)
\begin{align} d\wedge\left(e_{ij}d\theta^i\otimes d\theta^j\right)\wedge d=0 \end{align}

こそが歪の適合条件にほかなりません。具体的には

(47)
\begin{align} \frac{\partial^2 e_{ij}}{\partial \theta^l \partial\theta^k}d\theta^k\wedge d\theta^i\otimes d\theta^j \wedge d\theta^l=0 \end{align}

と明快に表現できます。
$1\le i,j \le 3$、つまり3次元空間のときこれはSt.Venantの適合条件と呼ばれる6本の方程式に還元されます。次にこれを示します。

(48)
\begin{align} R=\frac{\partial^{2}e_{ij}}{\partial x^{l}\partial x^{k}}dx^{k}\wedge dx^{i}\otimes dx^{j}\wedge dx^{l} \end{align}

(49)
\begin{align} R=R_{ijkl}dx^{k}\wedge dx^{i}\otimes dx^{j}\wedge dx^{l} \end{align}

と書いたとき$R_{ijkl}=\frac{\partial^{2}e_{ij}}{\partial x^{l}\partial x^{k}}$とは書けません。$dx^{i}\wedge dx^{j}=-dx^{j}\wedge dx^{i},dx^{i}\wedge dx^{i}=0$
だからです。
一般に

(50)
\begin{align} \omega=a_{ij}d\theta^{i}\wedge d\theta^{j}=\frac{1}{2}\left(a_{ij}-a_{ji}\right)d\theta^{i}\wedge d\theta^{j} \end{align}

と書けることを使うと

(51)
\begin{align} R_{ijkl}=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial^{2}e_{ij}}{\partial x^{l}\partial x^{k}}-\frac{\partial^{2}e_{kj}}{\partial x^{l}\partial x^{i}}-\frac{\partial^{2}e_{il}}{\partial x^{j}\partial x^{k}}+\frac{\partial^{2}e_{kl}}{\partial x^{i}\partial x^{j}}\right)(i\ne k,j\neq l) \end{align}

ですから、歪の適合条件はすべての成分$i\ne k,j\ne l$について$R_{ijkl}=0$を満たすことに他なりません。
3次元の場合$i,j,k,l$ のうち少なくとも一つは重複することに注意すると

(52)
\begin{align} R_{\beta\alpha\alpha\beta}dx^{\alpha}\wedge dx^{\beta}\otimes dx^{\alpha}\wedge dx^{\beta}(\alpha<\beta) \end{align}
(53)
\begin{align} R_{\beta\alpha\alpha\gamma}dx^{\alpha}\wedge dx^{\beta}\otimes dx^{\alpha}\wedge dx^{\gamma}(\alpha<\beta,\alpha<\gamma) \end{align}

の2つのパターンしか存在しないことに気づきます。そこで、

(54)
\begin{align} R_{\beta\alpha\alpha\beta}=2\frac{\partial^{2}e_{\beta\alpha}}{\partial x^{\alpha}\partial x^{\beta}}-\frac{\partial^{2}e_{\alpha\alpha}}{\partial x^{\beta}\partial x^{\beta}}-\frac{\partial^{2}e_{\beta\beta}}{\partial x^{\alpha}\partial x^{\alpha}}=0 \end{align}
(55)
\begin{align} R_{\beta\alpha\alpha\gamma}=&\frac{\partial^{2}e_{\beta\alpha}}{\partial x^{\alpha}\partial x^{\gamma}}-\frac{\partial^{2}e_{\alpha\alpha}}{\partial x^{\beta}\partial x^{\gamma}}-\frac{\partial^{2}e_{\beta\gamma}}{\partial x^{\alpha}\partial x^{\alpha}}+\frac{\partial^{2}e_{\alpha\gamma}}{\partial x^{\beta}\partial x^{\alpha}}(\alpha<\beta) \end{align}
(56)
\begin{align} \frac{\partial}{\partial x^{\alpha}}\left(-\frac{\partial e_{\beta\gamma}}{\partial x^{\alpha}}+\frac{\partial e_{\beta\alpha}}{\partial x^{\gamma}}+\frac{\partial e_{\alpha\gamma}}{\partial x^{\beta}}\right)-\frac{\partial e_{\alpha\alpha}}{\partial x^{\beta}\partial x^{\gamma}}=0(\alpha<\beta,\alpha<\gamma) \end{align}

の2パターンがSt.Venantの歪の適合方程式のすべてと結論づけられます。
すべて列挙しましょう。

(57)
\begin{align} \frac{\partial^{2}e_{11}}{\partial x^{2}\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}e_{22}}{\partial x^{1}\partial x^{1}}-2\frac{\partial^{2}e_{12}}{\partial x^{1}\partial x^{2}}dx^{1}\wedge dx^{2}\otimes dx^{1}\wedge dx^{2} =0 \end{align}
(58)
\begin{align} \frac{\partial}{\partial x^{2}}\left(-\frac{\partial e_{31}}{\partial x^{2}}+\frac{\partial e_{12}}{\partial x^{3}}+\frac{\partial e_{23}}{\partial x^{1}}\right)-\frac{\partial^{2}e_{22}}{\partial x^{3}\partial x^{1}}dx^{1}\wedge dx^{2}\otimes dx^{2}\wedge dx^{3}=0 \end{align}
(59)
\begin{align} \frac{\partial}{\partial x^{1}}\left(-\frac{\partial e_{23}}{\partial x^{1}}+\frac{\partial e_{31}}{\partial x^{2}}+\frac{\partial e_{12}}{\partial x^{3}}\right)-\frac{\partial^{2}e_{11}}{\partial x^{2}\partial x^{3}}dx^{1}\wedge dx^{2}\otimes dx^{3}\wedge dx^{1}=0 \end{align}
(60)
\begin{align} \frac{\partial}{\partial x^{2}}\left(-\frac{\partial e_{31}}{\partial x^{2}}+\frac{\partial e_{12}}{\partial x^{3}}+\frac{\partial e_{23}}{\partial x^{1}}\right)-\frac{\partial^{2}e_{22}}{\partial x^{3}\partial x^{1}}dx^{2}\wedge dx^{3}\otimes dx^{1}\wedge dx^{2}=0 \end{align}
(61)
\begin{align} \frac{\partial^{2}e_{22}}{\partial x^{3}\partial x^{3}}+\frac{\partial^{2}e_{33}}{\partial x^{2}\partial x^{2}}-2\frac{\partial^{2}e_{23}}{\partial x^{2}\partial x^{3}}dx^{2}\wedge dx^{3}\otimes dx^{2}\wedge dx^{3}=0 \end{align}
(62)
\begin{align} \frac{\partial}{\partial x^{3}}\left(-\frac{\partial e_{12}}{\partial x^{3}}+\frac{\partial e_{23}}{\partial x^{1}}+\frac{\partial e_{31}}{\partial x^{2}}\right)-\frac{\partial^{2}e_{33}}{\partial x^{1}\partial x^{2}}dx^{2}\wedge dx^{3}\otimes dx^{3}\wedge dx^{1}=0 \end{align}
(63)
\begin{align} \frac{\partial}{\partial x^{1}}\left(-\frac{\partial e_{23}}{\partial x^{1}}+\frac{\partial e_{31}}{\partial x^{2}}+\frac{\partial e_{12}}{\partial x^{3}}\right)-\frac{\partial^{2}e_{11}}{\partial x^{2}\partial x^{3}}dx^{3}\wedge dx^{1}\otimes dx^{1}\wedge dx^{2}=0 \end{align}
(64)
\begin{align} \frac{\partial}{\partial x^{3}}\left(-\frac{\partial e_{12}}{\partial x^{3}}+\frac{\partial e_{23}}{\partial x^{1}}+\frac{\partial e_{31}}{\partial x^{2}}\right)-\frac{\partial^{2}e_{33}}{\partial x^{1}\partial x^{2}}dx^{3}\wedge dx^{1}\otimes dx^{2}\wedge dx^{3}=0 \end{align}
(65)
\begin{align} \frac{\partial^{2}e_{33}}{\partial x^{1}\partial x^{1}}+\frac{\partial^{2}e_{11}}{\partial x^{3}\partial x^{3}}-2\frac{\partial^{2}e_{31}}{\partial x^{3}\partial x^{1}}dx^{3}\wedge dx^{1}\otimes dx^{3}\wedge dx^{1}=0 \end{align}

よく見ると同じ条件が3組含まれていますから、St.Venantの適合方程式は6本となります。